Beispiele

1 Einheitsvektor/Normierter Vektor

Beispiel 1 (ℝ2)

( 3 ) ⃗n = 0

------ |⃗n| = ∘ 32 + 0 = 3

( ) 3 ( ) 0 -⃗n- --0--- 1 ⃗n = |⃗n| = 3 = 0

| | √ ----- |⃗n0| = 1+ 0 = 1

Beispiel 2 (ℝ3)

( ) 1 ⃗n = ( √1- ) 2

√ -------- √- |⃗n| = 1+ 1 +2 = 4 = 2

( ) ( 1 ) √1- ( 0,5 ) ⃗n0 = -⃗n-= -----2-- = ( 0√,5 ) |⃗n| 2 -2- 2

┌ ------------------- | | ││ ( √-)2 ∘ --------------- |⃗n0| = ∘ 0,52 + 0,52 +-2- = 0,25+ 0,25+ 0,5 = 1 2

2 Schreibweise von Determinanten

Beispiel

( ) | | 3 - 8 2 || 3 - 8 2 || det(⃗a,⃗b,⃗c) = det( 6 4 - 5 ) = || 6 4 - 5 || - 9 1 7 | - 9 1 7 |

... ausrechnen ganz normal, mit Sarrus oder Determinantenverfahren!

3 Gesamtbeispiel für Abstandsberechnung

Gegeben sind folgende Geradengleichungen:

( ) ( ) 3 - 1 g : ⃗x = ( 1 ) + λ⋅( 0 ) - 2 - 2

( ) ( ) 1 2 h : ⃗x = ( 4 ) + μ ⋅( - 1) - 3 - 3

windschief?

--→ AB = ⃗b-⃗a = ( ) 1- 3 ( 4- 1 ) - 3 - (- 2) = ( ) - 2 ( 3 ) - 1
V = det(--→ ) AB, ⃗u, ⃗v = det( ) - 2 - 1 2 ( 3 0 - 1 ) - 1 - 2 - 3 = 0 - 1 - 12 - 0 + 4 - 9 = -18≠0 ⇒ Geraden g und h sind windschief zueinander!

in Formel einsetzen...

Für die Determinante wird V = -18 eingesetzt:

| | ||det(⃗b - ⃗a, ⃗u, ⃗v)|| |- 18| 18 18 18 6 √ - d =-------------- = ||(-----)---(-----)-||= √--2---2---2-= √---= -√-- = √--= 6 |⃗u ×⃗v | ||( - 1 ) ( 2 ) || 2 + 7 + 1 54 3 6 6 || 0 × - 1 || - 2 - 3

Der Abstand der Geraden beträgt also √ - 6 Längeneinheiten.